坐标系及其变换

三大坐标系

• 直角坐标系

• 极坐标系

• 参数方程体系（$\begin{cases}x = x(t), \\ \\ y = y(t), \end{cases}$）

直角坐标系

在平面上作两条互相垂直且有公共原点的数轴，称直角坐标系

坐标变换

1. 坐标系的平移

设平面上有一直角坐标系（称为旧坐标系），其原点为 $O$，坐标轴为$Ox$，$Oy$ 设平面上又有另一坐标系（称为新坐标系），其原点为 $O'$ ，坐标轴为 $O'X$ ，$O'Y$ ，设$O'X$ ，$O'Y$ 分别与 $Ox$ ，$Oy$ 平行并且正方向相同，新坐标轴可以看作将旧坐标轴经过平移而得到.设点 $O'$ 在旧坐标系中的坐标为 $(a,b)$

设平面上一点 $M$ ，它在旧坐标系中的坐标是 $(x, y)$ ，在新坐标系中的坐标是 $(X, Y)$ ，现在找出 $(x, y)$ 和 $(X, Y)$ 之间的关系

这里是图22，后面补拍

从点 M 作 Ox 轴的垂线，它在 Ox 上的垂足是 P ，在 $O'X$ 轴上的垂足是 $P'$ ，则

$$OP = x, O'P' = X, ON = a, OP = ON + NP = ON + O'P',$$

故：

$$x = a + X$$

从点 $M$ 作 $Oy$ 轴的垂线，同样可得：

$$y = b + Y$$

于是就建立了新旧坐标之间的互换关系

$$\begin{cases} x = a + X, \\ \\ y = b + Y. \end{cases} \text{即：} \begin{cases} X = x - a, \\ \\ Y = y - b. \end{cases}$$

$(a, b)$ 是新坐标系原点 $O'$ 在旧坐标系中的坐标

2. 坐标系的旋转 👍

设平面上有两个直角坐标系，坐标系的原点都是 $O$ ，旧坐标系的坐标轴为 $Ox$，$Oy$ ，新坐标系的坐标轴为 $OX$，$OY$ ，设由 $Ox$ 轴绕原点按逆时针方向旋转角 $\theta$ 得到 $OX$ 轴，现在要找出点 $M$ 的新、旧坐标 $(X,Y),(x,y)$ 间的关系（见图 24 ）

这里是图24，后面补拍

记：

$$|OM| = r$$

设由 $Ox$ 轴按逆时针方向旋转到 $\overline{OM}$ 所成的角为 $\varphi$ ，由 $O'X$ 轴按逆时针方向旋转到 $\overline{OM}$ 所成的角为 $\varphi'$ ，则有：

$$\cos{\varphi} = \frac{x}{r}, \sin{\varphi} = \frac{y}{r}. \\ \cos{\varphi'} = \frac{X}{r}, \sin{\varphi'} = \frac{Y}{r}.$$

而 $\theta$ 、 $\varphi'$ 、 $\varphi$ 之间的关系为：

$$\varphi = \theta + \varphi'.$$

由此可知，

$$\begin{cases} x &= r\cos{\varphi} = r\cos{\theta + \varphi'} = r\cos{\theta}\cos{\varphi'} - r\sin{\theta}\sin{\varphi'}. \\ &= X\cos{\theta} - Y\sin{\theta}. \\ y &= r\sin{\varphi} = r\sin{\theta + \varphi'} = r\cos{\theta}\sin{\varphi'} + r\sin{\theta}\cos{\varphi'}. \\ &= X\sin{\theta} + Y\cos{\theta}. \end{cases}$$

故点 $M$ 的新、旧坐标间的关系式为：

$$\begin{cases} X &= x\cos{\theta} - y\sin{\theta}, \\ \\ Y &= x\sin{\theta} + y\cos{\theta}. \end{cases}$$

解出 $x$ 、 $y$ 与 $X$ 、 $Y$ 之间的关系：

$$\begin{cases} x &= X\cos{\theta} + Y\sin{\theta}, \\ \\ y &= -X\sin{\theta} + Y\cos{\theta}. \end{cases}$$

极坐标系

在平面上任取一点 $O$ ，从 $O$ 作一条射线$\overline{Ox}$，再取好一定的长度单位,这样，就建立了平面上的极坐标系，点 $O$ 称为极点，射线 $\overline{Ox}$ 称为极轴，如图26所示.

这里是图26，后面补拍

这里是指狭义上的极坐标系（考研也是这个标准），即：

• $r \ge(\text{或}\gt) 0$

• $\theta \in [0, 2\pi)$

极坐标系下的曲线方程：

$$r = r(\theta) \\ \text{或} \\ F(r, \theta) = 0 \text{（隐式表达）}$$

几种常见曲线的极坐标方程

• 过点 $A(a,\alpha)$ ，倾斜角为 $\beta$ 的直线（见图 30 ）.

这里是图30，后面补拍

由 $\frac{\alpha}{\sin{[\pi - (\theta - \beta)]}} = \frac{\rho}{\sin{\alpha - \beta}}$ ，故有 $\rho = \frac{a\sin{\alpha - \beta}}{\sin{(\theta - \beta)}}$

特例：

a. 当 $\alpha = 0$ 时，$\rho = \frac{a\sin{\beta}}{\sin{\beta - \theta}}$ ，表示过极轴上一点 $A(a,0)$ ，倾斜角为 $\beta$ 的直线

b. 当 $\alpha = 0, \beta = \frac{\pi}{2}$ 时，$\rho \cos{\theta} = a$ ，表示过极轴上一点 $A(a,0)$ ，与极轴垂直的直线（此时极点到直线的距离为 $|a|$ ）

c. 当 $\alpha = \frac{\pi}{2}, \beta = 0$ 时，$\rho \sin{\theta} = a$ ，表示过极轴上一点 $A(a,\frac{\pi}{2})$ ，与极轴平行的直线（此时极点到直线的距离为 $|a|$ ）

• 以 $A(a, \alpha)$ 为中心，半径为 $r$ 的圆（见图 31 ）.

这里是图31，后面补拍

由 $r^2 = a^2 + \rho^2 - 2a\rho\cos{\alpha - \theta}$

特例：

a. 当 $\alpha = 0, r = |a|$ 时，$\rho = 2a\cos{\theta}$ ，表示圆心在极轴上的一点 $A(a,0)$ ，半径为 $|a|$ 的圆

b. 当 $\alpha = \frac{\pi}{2}, r = |a|$ 时，$\rho = 2a\sin{\theta}$ ，表示圆心在极垂线（过极点垂直于极轴的直线）上的一点 $A(a,\frac{\pi}{2})$ ，半径为 $|a|$ 的圆

直角坐标和极坐标的关系

下面，我们要建立点的直角坐标与极坐标的关系.它将会对“点与坐标”“曲线与方程”的研究带来很多便利.

设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，并且极轴与横轴重合，方向也一致（见图 32 ）设 $(x,y)$ 是点M的直角坐标， $(r,\theta)$ 是同一点M的极坐标，且 $r,\theta$ 受条件 $(*)$ 的限制.容易看出 $x,y,r,\theta$ 间的关系式是

$$x = r \cos{\theta}, \ y = r \sin{\theta}.$$

也可以表示为：

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}. \ \sin{\theta} = \frac{y}{r}, \ \cos{\theta} = \frac{x}{r}.$$

这里是图32，后面补拍

重点例题

例 74