一些笔记

常用公式

同角三角函数的基本公式

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

诱导公式

口诀：奇变偶不变，符号看象限

（因任一角度均可表示为 $\frac{k\pi}{2}, k \in Z, |\alpha| \leq \frac{\pi}{4}$， 故 $k$ 为奇数时得角 $\alpha$ 的异名函数值，$k$ 为偶数时得角 $\alpha$ 的同名函数值，然后在前面加上一个把角 $\alpha$ 看成锐角时原来函数值的符号）

角 $\theta$ 函数	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\pi - \alpha$	$\pi\pm\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$	$2\pi - \alpha$
$\sin\theta$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$
$\cos\theta$	$\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$\tan\theta$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$-\tan\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$-\tan\alpha$
$\cot\theta$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$-\cot\alpha$	$\cot\alpha$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$-\cot\alpha$

其中需要特别记住的是：

$$\begin{cases} \sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \cos\alpha, \\ \sin(\pi \pm \alpha) = \mp \sin\alpha, \\ \cos(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \sin\alpha, \\ \cos(\pi \pm \alpha) = -\cos\alpha, \\ \end{cases}$$

和差公式

$\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$，其中 $\tan (\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{1 - \tan \alpha}{\tan \alpha + 1}$

$\cot (\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}$

正弦定理

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

对数运算法则

$$\text{对数加法法则：} \ \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \\ \text{对数减法法则：} \ \log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y} \\ \text{对数幂法则：} \ \log_a x^n = n \log_a x$$