函数的概念与特性

函数

设 $x$ 与 $y$ 是两个变量， $D$ 是一个给定的数集，若对于每一个 $x \in D$ ，按照一定的法则 $f$ ，有一个确定的值 $y$ 与之对应，则称 $y$ 为 $x$ 的函数，记作 $y=f(x)$ ，称 $x$ 为自变量，$y$ 为因变量，称数集 $D$ 为此函数的定义域，定义域一般由实际背景中变量的具体忘义或者函数对应法则的要求确定，称 $(f(x)|x \in D)$ 为值域.

单值函数

• 判断

铅锤画线法——作铅锤直线，若任一条铅锤直线与 $f(x)$ 至多有一个交点，则 $f(x)$ 是单值函数.

反函数

设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$ ，值域为 $R$ .如果对于每一个 $y \in R$ ，必存在唯一的 $x \in D$ 使得 $y = f(x)$ 成立，则由此定义了一个新的函数 $x = \varphi(y)$ ，这个函数称为函数$y = f(x)$ 的反函数，一般记作 $x = f^{-1}(y)$ ，它的定义域为 $R$ ，值域为 $D$ .相对于反函数来说，原来的函数也称为直接函数.以下两点需要说明.

第一，严格单调函数必有反函数（充分条件），比如函数 $y = x^2, (x \in [0,+∞))$ 是严格单调函数，故它有反函数 $x=\sqrt{y}$

第二，若把 $x = f^{-1}(y)$ 与 $y = f(x)$ 的图形画在同一坐标系中，则它们完全重合.只有把 $y = f(x)$ 的反函数 $x = f^{-1}(y)$ 写成 $y = f^{-1}(x)$ 后，它们的图形才关于 $y = x$ 对称，事实上这也是字母 $x$ 与 $y$ 互换的结果

注意

有反函数的函数不一定是单调函数.比如函数 $\begin{cases} y = x, x \ge 0 \\ y = \frac{1}{x}, x \lt 0 \end{cases}$ ，其图像如图 1 - 2 所示，其反函数即为 $f(x)$ 本身，但 $f(x)$ 不是单调函数

• 判断

水平画线法——在铅锤画线法的前提下，作水平直线，若任一条水平直线与 $f(x)$ 至多有一个交点，则 $f(x)$ 有反函数.

上面两个判断规则可以总结为：

铅锤直线定单多

水平直线定反直

• 求反函数

以简单的一次函数 $y = 2x + 1$（原函数 $f(x) = 2x + 1$）为例，步骤如下：

1. 从 $y = 2x + 1$ 中解出 $x$，得 $x = \frac{y - 1}{2}$；

2. 交换 $x$ 和 $y$（统一自变量符号），得到反函数 $y = \frac{x - 1}{2}$（即 $f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}$）

需要记住的一些特殊函数 👍

$y = \ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})}$；反双曲正弦函数及其反函数 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ ，如图所示

图1-3

以及双曲余弦函数 $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ ，如图所示

图1-4

上述函数的三个重要结论 👍

1. $x \rightarrow 0$ 时，$\ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})} \sim x$ 。该函数与 $x$ 是等价无穷小.

2. $[\ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})}]' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ，于是 $\int{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx} = \ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})} + C$

3. 由于 $y = \ln {(x + \sqrt{x^2 + 1})}$ 是奇函数，于是 $\int_{-1}^{1}[\ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})} + x^2] dx = \int_{-1}^{1}x^2 dx = \frac{2}{3}$

提示

奇函数在 $x$ 轴的对称区间上积分，结果为 $0$ ，如在 $[-1, 1]$

复合函数

设函数 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_1$，函数 $u = g(x)$ 在 $D$ 上有定义，且 $g(D) \subset D_1$，则由

$$y = f[g(x)] \ (x \in D)$$

确定的函数称为由函数 $u = g(x)$ 和函数 $y = f(u)$ 构成的复合函数，它的定义域为 $D$，$u$ 称为中间变量。考生要掌握复合的方法

隐函数

设方程 $F(x, y) = 0$，若当 $x$ 取某区间内的任一值时，总有满足该方程的唯一的值 $y$ 存在，则称方程 $F(x, y) = 0$ 在上述区间内确定了一个隐函数 $y = y(x)$。

如 $x + y^3 - 1 = 0$ 就表示一个隐函数，且可显化为 $y = \sqrt[3]{1 - x}$；再如 $\sin(xy) = \ln\frac{x + \mathrm{e}}{y} + 1$ 也表示一个隐函数，但不易显化。

一般来说，由 $F(x, y) = 0$ 所确定的隐函数求 $y(x_0)$，若代入 $x_0$ 易求出 $y(x_0)$，则直接求之；若不易求出 $y(x_0)$，则用观察法。如：

① 设函数 $y = y(x)$ 由方程 $\ln y - \frac{x}{y} + x = 0$ 确定，当 $x = 2$ 时，$y(2) = 1$

• $\ln y - \frac{2}{y} + 2 = 0$，显然可看出，$y = 1$ 时成立

② 设函数 $y = y(x)$ 由方程 $\ln y + \mathrm{e}^{y - 1} = \frac{x}{2}$ 确定，当 $x = 2$ 时，$y(2) = 1$

• $\ln y + \mathrm{e}^{y - 1} = 1$，显然可看出，$y = 1$ 时成立

函数的四种特性 👍

有界性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，数集 $I \subset D$ 。如果存在某个正数$M$，使对任一 $x \in I$ ，有 $|f(x)| \leq M$ ，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界；如果这样的 $M$ 不存在，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界

单调性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，区间 $I \subset D$ 。如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$ ，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加. 如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$ ，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) > f(x_2)$ ，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少.

奇偶性

设 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称（若 $x \in D$ ，则 $-x \in D$ ）．如果对于任一 $x \in D$ ，恒有 $f(-x) = f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为偶函数．如果对于任一 $x \in D$ ，恒有 $f(-x) = -f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为奇函数．我们熟知的是，偶函数的图形关于 $y$ 轴对称，奇函数的图形关于原点对称．

提示

1. $f(x) + f(-x)$ 必为偶函数

2. $f(x) - f(-x)$ 必为奇函数

任何一个函数都可以写成由一个奇函数和一个偶函数之和的形式，即

$$f(x) = \frac{1}{2} (f(x) + f(-x)) + \frac{1}{2} (f(x) - f(-x))$$

3. $f([\varphi(x)])$ （内偶则偶，内奇同外）

• 奇[偶] = 偶

• 偶[奇] = 偶

• 奇[奇] = 奇

• 偶[偶] = 奇

4. 一个特色： $[ln(x + \sqrt{x^2 + 1})]' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

5. $f(x) \text{ 奇（偶）函数} \Rightarrow f(x)' \text{ 偶（奇）函数} \Rightarrow f(x)'' \text{ 奇（偶）函数} \Rightarrow \cdots$ 👍

6. $f(x) \text{ 奇（偶）函数} \Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) dt \text{ 偶（奇）函数}$ 👍

7. 设对任意的 $x, y$ ，都有 $f(x) + f(y) = f(x + y)$ ，则 $f(x)$ 为奇函数

周期性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，如果存在一个正数 $T$ ，使得对于任一 $x \in D$ ，有 $x \pm T \in D$ ，且 $f(x+T)=f(x)$ ，则称 $f(x)$ 为周期函数， $T$ 称为 $f(x)$ 的周期。

重要结论

① 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期．

② 若 $g(x)$ 是周期函数，则复合函数 $f[g(x)]$ 也是周期函数，如 $\text{e}^{\sin x}$ ， $\cos^2 x$ 等．

③ 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的可导函数，则 $f'(x)$ 也以 $T$ 为周期．见例3.1．👍

④ 若 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则只有在 $\int_{0}^{T} f(x) \, dx = 0$ 时， $\int_{0}^{x} f(t) \, dt$ 也以 $T$ 为周期．见例9.25． 👍

重点例题

例 1.2 1.3